●１限目 数学
「やわらかな思考を育てる 数学問題集」
井上清三さん（元小学校教師・
「やわらかな思考を育てる 数学問題集」
井上清三さん（元小学校教師・
日本色覚差別撤廃の会事務局長／空手師範）
元小学校教師、井上清三さんのオンライン授業は旧ソ連で天才を育てるために
元小学校教師、井上清三さんのオンライン授業は旧ソ連で天才を育てるために
作られた数学問題集から「組み合わせ」をやっています。
今回は初参加の方もおられたので、駆け足でこれまでのおさらいからスタートしました。そして前回の宿題です。
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前回の宿題
６色の布切れがあります。それらを細長く切り、異なる３色を横に縫い合わせて三色旗を作ろうと思います。何種類の旗ができるでしょうか旗の上下は区別するものとします。
答え：一つの旗（上中下）には同じ色は使えないので、１色使うごとに使える色が減っていきます。
まず旗の上部は6色から１つを使えます。次の中部は残る５色から１つ、最後の下部は残る4色から１つ。ゆえに6色✖️5色✖️4色＝１２０種類
校長は面倒な方法を考えました。まず三色旗を無視して全組み合わせを考え、そこから同色がダブってしまった組み合わせを除きました。改めて井上先生が計算してくれました。
＊校長（中城）の考え
上中下の３つのパートに全色使うとするなら、それぞれのパートの色が６通りで、
それが上中下の３つだから６✖️６✖️６＝６３
三色旗にするためには三つの色とも違う色でなければならないので、
色が重なって使えない組み合わせを除きます。
まず全パート同じ色になる組み合わせは・・・６通り
次に２色同じで１色だけ違う組み合わせを考えると、
下の２パートが同色の場合は同色部が６通りと、
残るパートで使える色が１色減り５色なので
・・・６×５通り
同様に上と下が同色の場合 ・・・６×５通り
同様に上の２パートが同色の場合 ・・・６×５通り
よって３色旗として使えない組み合わせは、全パートが同色の６通りと２パートが同色の６通り✖️５通りが３つ＝６✖️５✖️３＝９０通りで、合計９６通り
よって三色旗になる組み合わせは
６３－（６＋６×５×３）＝２１６ー９６＝１２０通り
これは結構、面倒なやり方になってしまいました。
便利な階乗（！）
さて今回は、ｎ個のものを一列に並べるやり方を計算してみましょう。このような並べ方は順列とよばれ、組み合わせ論や代数学で重要な役目を果たします。そこへ行くためにちょっと寄り道
ｎを自然数とすると、ｎ！（ｎの階乗といいます）は１×２×３×・・・ｎ＝ｎ！という積を表します。したがって２！＝２ ３！＝６ ４！＝２４となります。計算の便宜と、整合性をもたせるために、０！＝１と等しいとします。
練習１
階乗を用いて、次の式を簡単に表しなさい。
（ａ）１０！×１１
（ｂ）ｎ！×（ｎ＋１）
解答
（ａ）１１！
（ｂ）（ｎ＋１）！
練習２
（ａ）１００！／９８！を計算しなさい。
（ｂ）ｎ！／（ｎ－１）！を簡単にしなさい。
解答
（ａ）１００×９９＝９９００
（ｂ）ｎ
練習３
ｐを素数としたとき、（ｐ－１）！はｐで割り切れないことを示しなさい。
解答
｛（ｐ－１）（ｐ－２）（ｐ－３）・・・１｝／ｐで、
１～（ｐ－１）までの数字は全てpより小さいため、ｐと約分できる数字はない。よって割り切れない。
では次の問題に進みます。
問１６
赤、黒、青、緑の４つのボールを一列に並べるとすると、何通りのやり方があるでしょうか。
解答：まず最初に４つのうち、どれでもいいから１つボールを置きます。次に残された３つのボールのうちの
１つのボールを置きます。次の次は残された２つのうちの１つのボールをおき、最後に残された１つのボールを置きます。よって答えは４✖️３✖️２✖️１＝２４つまり ４！
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言葉の問題
アルファベットをいくつか並べたものを「言葉」とします。例えばA,B,Cの３文字を使うとABC,ACB,BAC,CAB,CBAの６つの言葉ができます。次の５つの問いでは、そこに示されている言葉の文字を入れ替えて、いくつ違う言葉ができるかを計算してください。
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問１７
「VECTOR」
解答：この言葉は全部違うアルファベット文字を使っています。最も左側の文字には６文字全てが使えるので６通り、左から２番目が使えるのは残りの５文字、左から３番目が使えるのが４文字、左から４番目に使えるのは３文字、左から５番目に使えるのは２文字、最後の６番目に使えるのが１文字です。
よってこれらを掛け合わせると
６✖️５✖️４✖️３✖️２✖️１＝６！＝７２０
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問１８
「TRUST」
校長が考えたのは５文字のうち２文字が同じ文字なので、まず問１７を参考に５文字の組み合わせを計算して、そこから「T」が同じ位置にきた組み合わせを取り除けばよいと思いますが、書き出して確認するとかなり大変そうです。よりスマートなやり方があるのかもしれません。次回が楽しみです。
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校長の感想
まだ基礎だそうですが、校長としては手強さを感じ始めています。「階乗」もとっつきにくかったのですが練習問題に悪銭苦労して取り組んでいるうちに「階乗」を使わざるを得なくなり、次第に「階乗」への距離感が減りました。
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井上先生の感想
●私の数学の授業、「順列・組み合わせ」は高校数学の学習です。今は基礎をやっており、大学入試の数学の初めのとっかかり部分を思い出したんじゃないでしょうか。これから応用に入りますので、心しておいてください。今回の宿題の問１２、別解を校長は考えてくれました。公式のようなものしか頭にない私としては、おもしろかった。