864 多田図尋常小学校の人々「とりあえず正解していくと気持ちがいい」

●１限目　数学
「やわらかな思考を育てる

　　　　　　数学問題集」
　　　井上清三さん（元小学校教師・

　　　　日本色覚差別撤廃の会事務局長／空手師範）

元小学校教師、井上清三さんのオンライン数学

授業です。使用教材は旧ソ連で天才を育てるために

作られた数学問題集で、現在は「組み合わせ」に取り組んでいます。わかりやすさを目指しています。今回は「言葉の組み合わせ」の問題から取り組みました。

言葉の問題

　アルファベットをいくつか並べたものを「言葉」とします。例えばA,B,Cの３文字を使うと

ABC,ACB,BAC,CAB,CBAの６つの言葉ができます。次の５つの問いでは、そこに示されている

言葉の文字を入れ替えて、いくつ違う言葉ができるかを計算してください。

問１８

　“ＴＲＵＳＴ”

解答

　この言葉にはＴが２つあります。初めと終わりにあるＴを仮にＴ^１、Ｔ^２とします。このように仮定すると５！＝１２０の言葉ができることになります。しかし実際は、Ｔ^１とＴ^２を入れ替えても、同じ言葉にしかなりません。したがって、１２０の言葉の中には同じ言葉がペアとして２つ入っていることになり、答えは１２０／２＝６０です。

問１９

　“ＣＡＲＡＶＡＮ”

解答

この言葉にある３つのＡをそれぞれＡ^１，Ａ^２，Ａ^３とすると、得られる言葉の数は７！のはずです。しかし、Ａの文字を入れ替えても同じ言葉にしかなりません。３つの文字Ａは３！＝６通りで入れ替え可能ですから、７！個の言葉は３！個ずつの同じ言葉のグループに分けられます。したがって答えは

７！／３！です。

ここで校長の質問に答えます。

①問１９の問題で、解答の「７！個の言葉は３！個ずつの同じ言葉のグループに分けられます」の言葉がしっくりこないという質問でした。

　３つのＡをＡ^１Ａ^２Ａ^３と分けると組み合わせは６通り考えられます。それで、７個のアルファベットを使った言葉5040個の中身を考えてみます。

　①ＡＡＡ⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎　の配置の場合、Ａに番号がつけて順番を入れ替えると次の６通り（３！）と考えられます。

　　Ａ^１Ａ^２Ａ^３⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎

Ａ^１Ａ^３Ａ^２⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎

Ａ^２Ａ^１Ａ^３⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎

Ａ^２Ａ^３Ａ^１⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎

Ａ^３Ａ^１Ａ^２⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎

Ａ^３Ａ^２Ａ^１⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎

Ａ^１Ａ^２Ａ^３は全て「A」だから、この６通りの組み合わせは同じものと考えて、６で割って１となります。

　②Ａ⚫︎ＡＡ⚫︎⚫︎⚫︎　の配置も、ＡはＡ^１Ａ^２Ａ^３の組み合わせが６通り考えられるので、上と同様に６で割ります。

　③Ａ⚫︎⚫︎ＡＡ⚫︎⚫︎　の配置も、ＡはＡ^１Ａ^２Ａ^３の組み合わせが６通り考えられるので、上と同様に６で割ります。

　④Ａ⚫︎⚫︎⚫︎ＡＡ⚫︎　の配置も、ＡはＡ^１Ａ^２Ａ^３の組み合わせが６通り考えられるので、上と同様に６で割ります。　

　⑤Ａ⚫︎⚫︎⚫︎⚫︎ＡＡ　の配置も、ＡはＡ^１Ａ^２Ａ^３の組み合わせが６通り考えられるので、上と同様に６で割ります。

　⑥ＡＡ⚫︎Ａ⚫︎⚫︎⚫︎　の配置も、ＡはＡ^１Ａ^２Ａ^３の組み合わせが６通り考えられるので、上と同様に６で割ります。

　⑦ＡＡ⚫︎⚫︎Ａ⚫︎⚫︎　の配置も、ＡはＡ^１Ａ^２Ａ^３の組み合わせが６通り考えられるので、上と同様に６で割ります。

　　　・

　と、６個の組み合わせが８４０回続きます。合計で５０４０個ですが、全ての組み合わせを６で割れるので、答えは７！（５０４０個）を３！（６）で割った８４０個です。

問２０

　“ＣＬＯＳＥＮＥＳＳ”

解答

　この言葉にはＳが３つとＥが２つあります。

仮にこれを全て別の文字とすると、９！の言葉ができることになります。

次にＥが２つ（同じ文字が２つ）あることを考えるとこれを（２！）で割って９！／２！にまで減っていきます。さらにＳが３つあることを考えると、これをさらに（３！）で割ればいいので得られる答えは９！／（２！×３！）となります。

以上で言葉の問題は終了として、次に進みます。

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問２２

　ある国には２０の都市があり、このどの２つの都市も航空路で結ばれています。航空路はいくつあるでしょうか。

解答

　航空路はどれも２つの都市を結んでいます。航空路の出発地として都市の中の一つをえらんでＡとします。到着地Ｂは残りの１９都市あるので、A出発便は１９ルートとなります。これを出発地を２０都市分、繰り返すので、かけ算をすると１９ルート×２０都市＝３８０ルートとなります。しかし、この計算ではＡＢ間のルートを２度含んでいます。（往復）つまりＡがルートの出発地としたときとＢが出発地になったときです。往復は１ルートと数えるので、ルートの数は２で割ると、３８０／２＝１９０ルートです。

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問２４

　糸にビーズを何個か通して輪になったネックレスをつくろうと思います。

それぞれ異なるビーズを１３個、糸に通すとすれば、何種類のネックレスが

できるでしょうか。ネックレスを回転させてもかまいませんが、ひっくり返すことはできません。

解答

まず、ネックレスを回転してはいけないと仮定してみましょう。そうすると、

１３種類のネックレスができることはあきらかです。しかし、一つのネックレスと

それを回転させて得られる１２種類のネックレスは同じものです。したがって答えは１３！／１３＝１２！です。

・

②問２４の問題で「ネックレスを回転させてもかまわない」の意味がしっくりこないという質問がありました。

　そこでビーズが４個の場合を考えます。

　Ａ　　　　

　　　　Ｄ　　　　　B　　　

　　　　　　　Ｃ

→１個右にずらすと　

　　　　　　　Ｄ　　　　　　　

　　　　Ｃ　　　　　Ａ　　

　　　　　　　Ｂ

→また一個右にずらすと　

　　　　　　　C　　　　　

　　　　ＢＤ

　　Ａ　　

→さらに１個右にずらすと

　　　　　　　Ｂ　　　　　　　　　　　　

　　　　Ａ　　　　　Ｃ

D

　以上の４通りできるけど、これらはどれも同じと考え１つと考えるので、４個のビーズなら４！÷４になるわけ。じゃ、今度はひっくりかえしてもいいとなれば・・・。

・

問２５（宿題）

　今度はネックレスをひっくり返してもよいとします。この場合はいくつのネックレスができるでしょうか。

　　　　　・　　　　・　　　・

井上先生の感想です。

数学の授業は、順列組み合わせの基礎編をやっている。階乗という数学用語が出てくるけど、これが使っているうちになかなか便利なツールになっている。「なんかわかんない」と言いながら、とりあえず正解していくと気持ちがいい。高校数１で初めて出会った「順列・組み合わせ」を思い出す。

次回からは応用編に入る。

・

校長の感想：井上さんは抽象でも、どんどん解答していきますが、数学が苦手な校長は色々なところで引っかかります。どうやら私は問題の文章や解答のプロセスを頭の中で具体化することが苦手だとわかりました。井上さんの解説を分析して自分で文を書き加えながら理解して、ようやく着地した気持ちになれます。

やっぱり頭の構造が違うようです。