●１限目 数学
「やわらかな思考を育てる
「やわらかな思考を育てる
数学問題集」
井上清三さん（元小学校教師
井上清三さん（元小学校教師
・日本色覚差別撤廃の会事務局長／空手師範）
元小学校教師、井上清三さんのオンライン数学
元小学校教師、井上清三さんのオンライン数学
授業です。
旧ソ連で天才を育てるために
作られた数学問題集を使っています。現在は「組み合わせ」の6回目。井上先生には
数学が苦手だった校長（中城）に、
わかりやすさをお願いしています。
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問３０★（難易度）前回のおさらい
名詞が７つ、動詞が５つ、形容詞が２つ、黒板に書かれています。それらの中から、それぞれ1つずつ選んで文章を作るとすれば（文章の中身は考えないことにしましょう）、いくつの文章ができるでしょうか。
解答
どれを選んでもいいわけですから、選択の数だけ掛け合わせます。
７×５×２＝７０
問３１ ★★
収集を始めたばかりの人が２人いて、それぞれ切手を２０枚、絵ハガキを１０枚ずつ持っています。切手は切手と、絵ハガキは絵ハガキとの交換が公平とされているのですが、この２人の間で公平な交換をすると、何通りの方法があるでしょうか。
解答
切手の場合、どの切手とでも交換可能なのですから、２０×２０通りの方法があります。絵ハガキの場合も同じように１０×１０通りの方法があります。
したがって
２０×２０＋１０×１０＝５００通りです。
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校長の悪戦苦闘
校長はこの問題でもスタートから引っ掛かっています。文章の意味がはっきりと掴めないのです。切手を二人とも２０枚持っているという意味もわかりにくい。どんな切手を持っているの？同じ切手を複数枚持っているのかなあ？そこでそれぞれ全く異なる切手を２０枚ずつ、つまり二人で合計４０種類の異なる切手を持っていると勝手に考えました。さらに解き方を考えるために、問題を簡略化して二人が切手だけを３枚ずつ持っていることにします。
⭕️それぞれ３枚ずつ切手を持っている。
A君はa.b.c.でB君は1,2,3を、それぞれ３枚持っている時の交換する場合を考えます。
まずお互いに１枚ずつ交換する場合
a-1(aと１を交換する）,a-2,a-3,b-1.b-2,b-3,c-1,c-2,c-3の９通り
次に２枚ずつ交換する場合、
ab-12（a、bと1、2を交換）,ab-23,ab-31,bc-12,bc-23,bc-31,ca-12,ca-23,ca-31の９通り
最後に３枚全部交換する場合、abc-123の１通り
９通り、９通り、１通りの合計19通り
次に二人が４枚ずつ持っている場合を考えました。
⭕️それぞれ４枚ずつ（1,2,3,4, a,b,c,d,）持っている時は
１枚ずつの交換は
a-1,a-2,a-3,a-4,b-1.b-2,b-3,b-4,c-1,c-2,c-3,c-4,d-1,d-2,d-3,d-4の16通り
２枚ずつの交換は
ab-12,ab-23,ab-34,ab-41,ab-13,ab-24,
ac-12,ac-23,ac-34,ac-41,ac-13,ac-24,
ad-12,ad-23,ad-34,ad-41,ad-13,ab-24,
bc-12,bc-23,bc-34,bc-41,bc-13,bc-24
bd-12,bd-23,bd-34,bd-41,bd-13,bd-24
cd-12,cd-23,cd-34,cd-41,cd-13,cd-24 の36通り
３枚ずつの交換は
Abc-123,abc-234,abc-341,abc-412,abc-124,
Bcd-123,bcd-234,bcd-341,bcd-412,bcd-124,
Cda-123,cda-234,cda-341,cda-412,cda-124,
Abd-123,abd-234,abd-341,abd-412,abd-124,の２０通り
４枚全部の交換
Abcd-1234の１通り
４枚持っている時の交換の場合は１６＋３６＋２０＋１＝７３通り
ふうっ。こうやって２０枚までの一般式を導こうと思ったのですが４枚でギブアップです。井上さんの解答から考えると１枚ずつの交換に限定されているようですが、そこまで到達できませんでした。しゅん。
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問３２ ★★★
６桁の数のうち、各桁の数字がすべて偶数あるいは奇数となるのはいくつあるでしょうか。
解答
２つの場合が考えられます。数字がすべての奇数の場合と、すべて偶数の場合です。奇数の場合は、６桁の数字に（１、３、５、７、９）の５種類の数字を使うことになり、したがって５×５×５×５×５×5＝５６通りとなります。しかし偶数の場合は、左端の桁には０をもってこられないためここだけ（２、４、６、８）の４種類となり、他の桁は0を含む５種類使えるので、奇数の場合と少し計算方法が違います。つまり４×５×５×５×５×５＝４×５５となり、答えは２つの場合を足して、５６＋（４×５５）通りとなります。
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問３３ ★★（宿題）
６通の急ぎの手紙を３人のメッセンジャーを使って届けようと思います。メッセンジャーが１通ずつ配達すると考えると、何通りのやり方があるでしょうか。
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校長は考えた
宿題も必死で考えました。１通ごとに３人のメッセンジャーが配達する可能性があるとすれば
3×3×3×3×3×3＝３6 です。でも、これには一人のメッセンジャーが６通とも配達する場合や、一回も配達しないメッセンジャーがいる場合も含まれています。それもありなのですか？これらの前提条件が曖昧だと回答しにくいです。
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校長の感想です。
井上さんは細かいところで引っかかる私を尻目に、ひらりひらりと軽やかに本質に迫ります。やはり脳の構造の違いが決定的かもしれません。
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井上先生の感想です。
高校数１の順列・組み合わせの問題、今の所、順調に行っているような。でも、校長の脳内は、いろんな所にひっかかりがあるような。私の場合、ホントはひっかかりがあるのにそれを無視して行ってるのかも。そのうち、大きなひっかかりにひっかかるかも。問３１の問題は、公平にというんだから、２枚ずつ、３枚ずつの交換もありうるわけですよね。そこまで深堀しなかったなあ。やっぱり問題に、１枚ずつの交換だということを表記しないとですね。宿題は、やっぱりこれも問題に丁寧に条件を入れないと校長のようにひっかかる人がでてきますね。